Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OD平分∠AOC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的直徑AB=4，∠AOC=120°，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫出符合條件的圖形，并求四邊形ACDE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OD平分∠AOC可得弧AD=弧CD，利用垂徑定理的推論可得OD⊥AC，則DE⊥AC，然后利用切線的判定定理證得DE與圓相切；
（2）證明△COD是等邊三角形，則易證四邊形ACDE是平行四邊形，在Rt△AOM中，根據(jù)AC=2AM即可求解．

解答 解：（1）直線DE與⊙O相切．
理由：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∴弧AD=弧CD，
∴OD⊥AC．
∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線，即直線DE與⊙O相切．
（2）如圖所示，
∵OD平分∠AOC，∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∵OA=OD，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=2，∠CDO=60°=∠AOD，
∴CD∥BE，
∵DE∥AC，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AE=CD=2，DE=AC，
在Rt△AOM中，∵sin60°=$\frac{AM}{OA}$，
∴AM=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，由垂徑定理得AC=2AM=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形ACDE的周長(zhǎng)是2（2+2$\sqrt{3}$）=4+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，求弦長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算是關(guān)鍵．