Question

6．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△BOC的內(nèi)部（不包含邊界），求m的取值范圍；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得b、c的值即可；
（2）先求得拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，接下來，再求得直線CB的解析式，將x=1代入直線BC的解析式求得對應(yīng)的y值為-2，由平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在△△BOC的內(nèi)部，可得到-2＜-4+m＜0，最后解不等組即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q的上時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的下方時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3，然后分別將y=3和y=-3代入拋物線的解析式求得對應(yīng)的x的值即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4）．
把x=0代入拋物線的解析式得：y=-3，
∴C（0，-3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-3．
∴直線BC的解析式為y=x-3．
把x=1代入y=x-3得：y=-2，
∵平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在△△BOC的內(nèi)部，
∴-2＜-4+m＜0，解得2＜m＜4．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q的上時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．
把y=3代入拋物的解析式x²-2x-3=3，解得：x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）．
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的下方時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3．
把y=-3代入拋物的解析式x²-2x-3=-3，解得：x=2或x=0（舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1-$\sqrt{7}$，3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（2，-3）時(shí)，以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)，依據(jù)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在△△BOC的內(nèi)部列出關(guān)于m的不等式是解答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得P的縱坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．