Question

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+1與拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）相交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)D（-4，5），并與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，且拋物線與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)E是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求出△ACE面積的最大值；
（3）如圖2，若點(diǎn)M是直線x=-1的一點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線上，以點(diǎn)A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用拋物線的對(duì)稱性確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入求得a的值即可；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交AD與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF，垂足為H．設(shè)點(diǎn)E（m，m²+2m-3），則F（m，-m+1），則EF=-m²-3m+4，然后依據(jù)△ACE的面積=△EFA的面積-△EFC的面積列出三角形的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得△ACE的最大值即可；
（3）當(dāng)AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，a），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)可求得x的值，然后將x=-2代入求得對(duì)應(yīng)的y值，然后依據(jù)$\frac{y+a}{2}$=$\frac{0+5}{2}$，可求得a的值；當(dāng)AD為平行四邊形的邊時(shí)．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，a）．則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-6，a+5）或（4，a-5），將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值．

解答 解：（1）∵A（1，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
∴B（-3，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：5a=5，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．

（2）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交AD與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF，垂足為H．

設(shè)點(diǎn)E（m，m²+2m-3），則F（m，-m+1）．
∴EF=-m+1-m²-2m+3=-m²-3m+4
∴△ACE的面積=△EFA的面積-△EFC的面積=$\frac{1}{2}$EF•AG-$\frac{1}{2}$EF•HC=$\frac{1}{2}$EF•OA=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$．
∴△ACE的面積的最大值為$\frac{25}{8}$．

（3）當(dāng)AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，a），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y）．
∵平行四邊的對(duì)角線互相平分，
∴$\frac{-1+x}{2}$=$\frac{1+（-4）}{2}$，$\frac{y+a}{2}$=$\frac{0+5}{2}$．
解得：x=-2，5-a．
將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：5-a=-3，
∴a=8．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，8）．
當(dāng)AD為平行四邊形的邊時(shí)．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，a）．
∵四邊形MNAD為平行四邊形，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-6，a+5）或（4，a-5）．
∵將x=-6，y=a+5代入拋物線的解析式得：a+5=36-12-3，解得：a=16，
∴M（-1，16）．
將x=4，y=a-5代入拋物線的解析式得：a-5=16+8-3，解得：a=26，
∴M（-1，26）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，26）或（-1，16）或（-1，8）時(shí)，以點(diǎn)A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，列出△ACE的面積與m的函數(shù)關(guān)系式是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含a的式子表示），然后列出關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．