Question

15．已知四邊形ABCD是正方形，點P，Q在直線BC上，且AP∥DQ，過點Q作QO⊥BD，垂足為點O，連接OA，OP．
（1）如圖，點P在線段BC上，
①求證：四邊形APQD是平行四邊形；
②判斷OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，直接寫出BP=1時，△OBP的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得PQ，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，可得PQ與AB的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PQO，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AO與OP的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得AO與OP的位置關(guān)系；
（3）分兩種情形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OE的長，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；

解答 （1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵AP∥DQ，
∴四邊形APQD為平行四邊形；

②解：結(jié)論：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，
∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=PQ}\\{∠ABO=∠PQO}\\{BO=QO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP；

（2）如圖，過O作OE⊥BC于E．
①如圖1，當(dāng)P點在B點右側(cè)時，
則BQ=1+2=3，OE=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{3}{2}$，
∴S_△OPB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$
②如圖2，當(dāng)P點在B點左側(cè)時，
則BQ=2-1=1，OE=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$，
∴S_△PBO=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
綜上所述，△POB的面積為$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{4}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵；利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵；本題綜合性強，有一定難度，利用等腰直角三角形的性質(zhì)的出OE的長是解題關(guān)鍵．