Question

14．正方形ABCD，等腰Rt△CDE，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，點(diǎn)F是CP的中點(diǎn)，作∠AFG=90°交DE于點(diǎn)G，求證：AF=GF．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AF交DC的延長(zhǎng)線于H，連接GH，作GM⊥CD于M，GN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N，CD交AG于O．首先證明△PAF≌△GHF，推出AF=FH，由FG⊥AH，推出GA=GH，由△DCE是等腰直角三角形，推出∠CDE=45°，易證四邊形DMGN是正方形，推出GN=GM，可得Rt△ANG≌Rt△HMG，推出∠AGN=∠HGM，推出∠AGH=∠MGN=90°，推出△AGH是等腰直角三角形，即可解決問題．

解答 證明：延長(zhǎng)AF交DC的延長(zhǎng)線于H，連接GH，作GM⊥CD于M，GN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N，CD交AG于O．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DH，
∴∠PAF=∠GHF，
∵∠AFP=∠HFG，PF=FG，
∴△PAF≌△GHF，
∴AF=FH，
∵FG⊥AH，
∴GA=GH，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，易證四邊形DMGN是正方形，
∴GN=GM，
∴Rt△ANG≌Rt△HMG，
∴∠AGN=∠HGM，
∴∠AGH=∠MGN=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AF=FH，
∴FG=AF=FH．
∴AF=GF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．