Question

18．在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=90°．
（1）求證：DB=CE；
（2）點F為DC的中點，連接AF交BE于G，求：∠AGB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BAC=90°，EA⊥AD，可得∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)AB=AC，∠ACE=∠ABD，可證明△ABD≌△ACE，繼而可得出DB=CE；
（2）延長AF至M，使FM=AF，連接MC，易證△ADF≌△MCF，可得出AD=AE=CM，易證∠BAE=∠ACM，從而證得△ABE≌△CAM，通過∠ABG=∠CAF，得到∠AGE=90°

解答 證明：（1）∵∠BAC=90°，EA⊥AD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴DB=CE；
（2）延長AF至M，使FM=AF，連接MC，
在△ADF與△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CF}\\{∠DFA=∠CFM}\\{AF=FM}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF（SAS），
∴AD=CM，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=CM，
∴∠BAM=∠CAM，
在△ABE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠AMC}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴∠ABG=∠CAF=45°，
∵∠CAF+∠BAG=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠AGB=∠AGE=90°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用了三角形全等的判定和性質(zhì)解題．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．