Question

10．如圖，已知矩形ABCD中，E是AB邊的中點，連接CE，將△BCE沿直線CE折疊后，點B落在點B′處，連接AB′并延長交CD于點F．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若AB=6，BC=4，求tan∠CB′F的值．

Answer 1

分析 （1）認真審題，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，可以證明∠FAE=∠CEB，進而證明AF∥EC，又AE∥FC，據(jù)此即可得證；
（2）由（1）知AF∥EC，所以∠CB′F=∠B′CE=∠BCE，進而得解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∵E是AB邊的中點，
∴AE=BE，
∵△BCE沿直線CE折疊后，點B落在點B′處，
∴BE=B′E，
∴AE=B′E，
∵∠CEB=∠CEB′=$\frac{1}{2}∠BEB′$，
∴∠FAE=∠AB′E，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}∠B′EB$，
∴∠FAE=∠CEB，
∴AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）∵AF∥EC，∠CB′F=∠B′CE，
∵△BCE沿直線CE折疊后，點B落在點B′處，
∴∠B′CE=∠BCE，
∴∠CB′F=∠B′CE=∠BCE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
  在Rt△EBC中，BE=$\frac{1}{2}AB$=3，BC=4，
∴tan∠BCE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠CB′F=$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及三角函數(shù)等知識點，解題的關鍵是把握住翻折變換前后角的大小不變，線段的大小不變，注意總結(jié)．