Question

7．已知，如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是邊CD的中點，點E在BC上，且AE=AD+CE．
（1）求證：AF平分∠DAE；
（2）若正方形改為矩形、菱形、平行四邊形，還能證明AF平分∠DAE嗎？

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長BC、AF交于一點G，構(gòu)造△ADF≌△GCF，根據(jù)AE=AD+CE，得等腰三角形AEG，從而得出∠DAF=∠G=∠FAE；
（2）如圖2、3、4所示，證明和（1）相同．延長BC、AF交于一點G，構(gòu)造△ADF≌△GCF，得等腰三角形AEG，從而得出∠DAF=∠G=∠FAE；

解答 證明：（1）如圖1，延長BC、AF交于一點G，
在△ADF和△GCF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠GCF=90°}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠GFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，∠DAF=∠CGF，
∵EG=EC+CG，AE=AD+CE，
∴EG=AE，
∴∠FAE=∠EGF，
∴∠FAE=∠DAF，
即AF平分∠DAE；
（2）正方形改為矩形、菱形、平行四邊形，能證明AF平分∠DAE，如圖2、3、4所示，同（1）證明方法相同．

點評 本題考查了作輔助線構(gòu)造三角形全等，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；能夠通過輔助線構(gòu)造出全等形轉(zhuǎn)移角和線段是解決問題的關(guān)鍵．