Question

14．已知：⊙O上兩個定點A，B和兩個動點C，D，AC與BD交于點E．
（1）如圖1，求證：EA•EC=EB•ED；
（2）如圖2，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，AD是⊙O的直徑，求證：AD•AC=2BD•BC；
（3）如圖3，若AC⊥BD，BC=3，求點O到弦AD的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)兩角對應相等證明△ABE∽△DCE，可得結(jié)論；
（2）如圖2，連接OB交AC于F，證明△ABF∽△DAB列比例式，由垂徑定理得：AF=$\frac{1}{2}$AC，由等弧所對的弦相等得：AB=BC，代入比例式可得結(jié)論；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角形的中位線定理得：OG為△ADF的中位線，則OG=$\frac{1}{2}$DF，由∠EDC+∠ECD=90°和∠FAD+∠AFD=90°，再由同弧所對的圓周角相等得：∠EDC=∠FAD，所以$\widehat{BC}$=$\widehat{FD}$，求出BC=DF=3，從而得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵∠BAC=∠CDB，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）如圖2，連接OB交AC于F，
∵OB=OA，
∴∠ABF=∠BAD，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BAF=∠BDA，
∴△ABF∽△DAB，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴AF•AD=AB•BD，
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，O是圓心，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC，AB=BC，
∴$\frac{1}{2}$AC•AD=BC•BD，
∴AD•AC=2BD•BC；

（3）如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF，過O作OG⊥AD于G，
∴AG=DG，
∵AO=OF，
∴OG為△ADF的中位線，
∴OG=$\frac{1}{2}$DF，
∵AC⊥BD，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠ADF=90°，
∴∠FAD+∠AFD=90°，
∵∠AFD=∠ECD，
∴∠EDC=∠FAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{FD}$，
∴BC=DF=3，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
∴點O到弦AD的距離是$\frac{3}{2}$．

點評 本題是圓的綜合題，難度適中，考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形相似的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理，熟練掌握圓周角定理是關(guān)鍵，在圓中證明相似中，常利用兩角對應相等證明兩三角形相似，要熟練掌握．