Question

8．已知如圖所示，在?ABCD中，∠A=60°，E，F(xiàn)分別是AB，CD中點(diǎn)，AB=2AD．求證：BD=$\sqrt{3}$EF．

Answer 1

分析 先連接，DE構(gòu)造平行四邊形，再利用平行四邊形及等邊三角形的性質(zhì)解答．

解答 證明：連結(jié)DE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DF=$\frac{1}{2}$CD，AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=AE，DF∥AE，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
∴EF=AD，
∴AB=2AE，
∴AD=AE．
∴∠1=∠4．
∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，
∴∠1=∠A=∠4=60°．
∴△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE．
∵AE=BE，
∴DE=BE，
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，
∴∠2=∠3=30°．
∴∠ADB=∠3+∠4=90°
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{（2AD）^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{3}AD$，
∴BD=$\sqrt{3}$EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，用平行四邊形及等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)解答．