Question

18．如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜$\frac{10}{4}$）．解答如下問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？
（2）設(shè)△AQP的面積為S，
①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則新坐標(biāo)（x₂-x₁，y₂-y₁）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖①所示，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，求出t的值；
（2）①求S關(guān)系式的要點(diǎn)是求得△AQP的高，如圖②所示，過點(diǎn)P作過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)造平行線PD∥BO，由線段比例關(guān)系$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$求得PD，從而S可求出，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值；
②本問關(guān)鍵是求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，可推出此時(shí)PD為△OAB的中位線，從而可求出點(diǎn)P的縱橫坐標(biāo)，又易求Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；求得P、Q的坐標(biāo)之后，代入“向量PQ”坐標(biāo)的定義（x₂-x₁，y₂-y₁），即可求解．

解答 解：（1）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
如圖①，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=10-3t．
∵PQ∥BO，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{10-3t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，
解得t=$\frac{20}{11}$，
∴當(dāng)t=$\frac{20}{11}$秒時(shí)，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如圖②所示，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則PD∥BO，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$，即$\frac{10-3t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，解得PD=6-$\frac{9}{5}$t．
S=$\frac{1}{2}$AQ•PD=$\frac{1}{2}$•2t•（6-$\frac{9}{5}$t）=6t-$\frac{9}{5}$t²=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5，
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5（0＜t＜$\frac{10}{4}$），
當(dāng)t=$\frac{5}{3}$秒時(shí)，S取得最大值，最大值為5（平方單位）．
②如圖②所示，當(dāng)S取最大值時(shí)，t=$\frac{5}{3}$，
∴PD=6-$\frac{9}{5}$t=3，
∴PD=$\frac{1}{2}$BO，
又∵PD∥BO，
∴此時(shí)PD為△OAB的中位線，則OD=$\frac{1}{2}$OA=4，
∴P（4，3）．
又∵AQ=2t=$\frac{10}{3}$，
∴OQ=OA-AQ=$\frac{14}{3}$，∴Q（$\frac{14}{3}$，0）．
依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（$\frac{14}{3}$-4，0-3），即（$\frac{2}{3}$，-3）．
∴當(dāng)S取最大值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是典型的動(dòng)點(diǎn)型問題，解題過程中，綜合利用了平行線分線段成比例定理（或相似三角形的判定與性質(zhì)）、勾股定理、二次函數(shù)求極值及三角形中位線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．第（2）②問中，給出了“向量PQ”的坐標(biāo)的新定義，為題目增添了新意，不過同學(xué)們無須為此迷惑，求解過程依然是利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)．