Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，P是AD上的一點，且BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD．
（1）求∠BPC的度數(shù)；
（2）如果AB=5cm，BP=8cm，求三角形BPC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的同旁內角互補，再結合角平分線的定義，可以得到∠PAB+∠PBA=90°，再根據(jù)三角形的內角和定理就可證明；
（2）根據(jù)角平分線的定義以及兩條直線平行，則內錯角相等．從而證明△ABP和△CDP是等腰三角形．則AD=CB=PD+AP=10，根據(jù)勾股定理得到PC=6，再根據(jù)直角三角形的面積等于兩條直角邊的乘積的一半．

解答 （1）證明：∵BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}∠$DCB，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥BD，
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB）=90°，
∴∠BPC=180°-90°=90°；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=5，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
又∵BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，
∴∠PAB=∠PAD=∠DPA，
∴AP=AB=5，
同理PD=CD=5，
∴AD=BC=AP+PD=10，
∴在Rt△BPC中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{P}^{2}}$=6．
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$BP•PC=24．

點評 本題考查了平行四邊形性質，平行線性質，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，勾股定理等知識點的綜合運用．