Question

4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=∠C=90°，點E在DC上，且AE，BE分別平分∠BAD和∠ABC．
（1）求證：點E為CD中點；
（2）當(dāng)AD=2，BC=3時，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）過點E作EF⊥AB于F，利用已知條件可證明△ADE≌△AFE，由全等三角形的性質(zhì)可得DE=FE，同理可證明EF=EC，所以DE=EF=CE，即點E為CD中點；
（2）由（1）可知AF=AD，BC=BF，所以AB=AF+BF=AD+BC=5，問題得解．

解答 （1）證明：過點E作EF⊥AB于F，
∴∠AFE=90°，
∴∠D=∠AFE=90°
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFE=90°}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（AAS），
∴DE=FE，
同理可得：EF=EC，
∴DE=EF=CE，
即點E為CD中點；
（2）∵△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=2，BC=BF=3，
∴AB=AF+BF=AD+BC=5．

點評 本題考查了直角梯形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出高線，構(gòu)造全等三角形．