Question

9．直線y=-$\frac{4}{3}$x+8交x軸于點B，交y軸于點A，作∠ABO的平分線交y軸于點C，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AD，點D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上．
（1）直接寫出點A、B的坐標(biāo)；
（2）求點C的坐標(biāo)及k的值；
（3）在雙曲線上找一點P，使S_△PAD=2S_△ACB，直接寫出P點坐標(biāo)；
（4）在y軸上找一點Q，過Q作x軸的平行線交雙曲y=$\frac{k}{x}$（k≠0）于點M，且∠CBQ=∠ABO，直接出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，和y=0，即可求得；
（2）作CM⊥AB于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得CM=OC，BM=OB，然后根據(jù)勾股定理求得AB，設(shè)C（0，b），則CM=OC=b，AC=8-b，根據(jù)勾股定理得出（8-b）²=b²+4²，即可求得C的坐標(biāo)，從而求得AC的長，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得k．
（3）根據(jù)三角形面積求得三角形PAD的面積，設(shè)P的縱坐標(biāo)為y，根據(jù)三角形面積公式得出S_△PAD=$\frac{1}{2}$×5×|y-8|=30，求得P的縱坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)的解析式即可求得坐標(biāo)．
（4）分別求得C點關(guān)于直線AB和x軸的對稱點，求得通過對稱點和B的直線的解析式，然后求得與y軸的解得即可求得Q點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令x=0，則y=8，
∴A（0，8），
令y=0，則0=-$\frac{4}{3}$x+8，解得x=6，
∴B（6，0）；
（2）如圖，作CM⊥AB于M，
∵BC是∠ABO的平分線，
∴CM=OC，BM=OB，
∵OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∴AM=10-6=4，
設(shè)C（0，b），
∴CM=OC=b，AC=8-b，
在RT△ACM中，（8-b）²=b²+4²，
解得b=3，
∴C（0，3），AC=8-3=5，
∵將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AD，
∴D（5，8），
∵D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上．
∴k=5×8=40；
（3）∵AB=10，CM=3，
∴S_△PAD=2S_△ACB，=2×$\frac{1}{2}$×10×3=30，
設(shè)P的縱坐標(biāo)為y，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$×5×|y-8|=30，
∴y=20或-4，
代入y=$\frac{20}{x}$得，20=$\frac{20}{x}$或-4=$\frac{20}{x}$，解得x=1或-5，
∴P（1，20）或（-5，-4）．
（4）①當(dāng)Q點在C點的上方時，設(shè)N（a，b），
∵AN=4，BN=6，
∴$\frac{8}$=$\frac{6}{10}$，$\frac{a}{6}$=$\frac{4}{10}$，
∴b=4.8，a=2.4
∴N（2.4，4.8），
∴C點關(guān)于直線AB的對稱點H是（4.8，6，6），
設(shè)直線BH的解析式為y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+n=0}\\{4.8k+n=6.6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{11}{2}}\\{b=33}\end{array}\right.$，
∴直線BH的解析式為y=-$\frac{11}{2}$x+33，
∴直線BH與y軸的交點Q（0，33），
②當(dāng)Q點在C點的下方時，Q點就是C點關(guān)于x軸的對稱點是（0，-3），
故Q點的坐標(biāo)為（0，22）或（0，-3）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式，求得C點的對稱點是解題的關(guān)鍵．