Question

16．如圖，四邊形OABC為矩形，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，已知點(diǎn)B為（2，4），反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，且與BC交于點(diǎn)E．
（1）求m的值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求△DOE的面積；
（3）點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得四邊形PQDE為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)B為（2，4），求得D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$中，即可求得m的值，令x=4，即可求得E的坐標(biāo)；
（2）依據(jù)D、E的坐標(biāo)聯(lián)立方程，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得；
（3）根據(jù)題意列出方程，解方程即可求得P的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點(diǎn)B為（2，4），
∴AB=2，BC=4，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴D（1，4），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，
∴4=$\frac{m}{1}$，m=4，
∴反比例函數(shù)為y=$\frac{4}{x}$，
令x=2，則y=2，
∴E的坐標(biāo)（2，2）；

（2）∵D（1，4），E（2，1），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=-2x+6；

（3）存在；
∵D（1，4），E（2，2），四邊形PQDE為平行四邊形，
∴PQ∥DE，且PQ=DE，
∴Q的縱坐標(biāo)為0，
∴P的縱坐標(biāo)為±2，
令y=2，則2=$\frac{4}{x}$，解得x=2，
令y=-2，則-2=$\frac{4}{x}$，解得x=-2，
∵E（2，2），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-2）；
故四邊形PQDE為平行四邊形的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法的應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．