Question

3．如圖，AB為⊙O直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的兩條切線交于點G，GD交AB延長線于點E，切點為D．
（1）求證：EF=ED；
（2）過點D作DM∥AE交⊙O于點N，交AG于點M，若∠C=15°，求MN：ND的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，由OC⊥AB得∠C+∠OFC=90°，利用對頂角相等得∠OFC=∠DFE，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODC+∠EDF=90°，加上∠C=∠ODC，則∠DFE=∠EDF，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到EF=ED；
（2）作DH⊥EF于H，OQ⊥ND，如圖，由∠C=15°可得∠COD=150°，則∠DOE=60°，在Rt△ODH中，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)含30度得直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=$\frac{1}{2}$r，由于DM∥AB，易得四邊形OQDH為矩形，所以DQ=OH=$\frac{1}{2}$r，接著利用垂徑定理得到DQ=NQ=$\frac{1}{2}$r，然后根據(jù)切線性質(zhì)∴AB⊥AG，則可判定四邊形AMDH為矩形，則有MD=AH，于是可計算出MN=$\frac{1}{2}$r，則易得MN：ND=1：2．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵OC⊥AB，
∴∠C+∠OFC=90°，
而∠OFC=∠DFE，
∴∠C+∠DFE=90°，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
即∠ODC+∠EDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠DFE=∠EDF，
∴EF=ED；
（2）解：作DH⊥EF于H，OQ⊥ND，如圖，
∵∠C=15°，
∴∠COD=150°，
∴∠DOE=60°，
在Rt△ODH中，設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=$\frac{1}{2}$r，
∵DM∥AB，
∴四邊形OQDH為矩形，
∴DQ=OH=$\frac{1}{2}$r，
∵OQ⊥DN，
∴DQ=NQ=$\frac{1}{2}$r，
∵AG為⊙O的切線，
∴AB⊥AG，
∴四邊形AMDH為矩形，
∴MD=AH，
而AH=OA+OH=r+$\frac{1}{2}$r=$\frac{3}{2}$r，MD=MN+DN=MN+r
∴MN=$\frac{1}{2}$r，
∴MN：ND=$\frac{1}{2}$r：r=1：2，
即MN：ND的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了垂徑定理和解直角三角形．