Question

9．在正方形ABCD中，BD=BE，CE∥BD，BE交CD于F，則∠DFE=75°．

Answer 1

分析 把△BCE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，連接DG、AC、AG．則∠GBE=90°，∠BAG=∠BCE；先證明G、A、C在一條直線上，得出∠DAG=∠BAG，由SAS證明△AGB≌△AGD，得出BG=DG=BE=BD，△BGD為等邊三角形，得出∠GBD=60°，求出∠DBE，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示，把△BCE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，連接DG、AC、AG．
則∠GBE=90°，∠BAG=∠BCE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=AD，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，
∴∠BCE=90°+45°=135°，
∵∠BAG=∠BCE=135°，
∴∠BAG+∠BAC=180°，
∴G、A、C在一條直線上，
∴∠DAG=180°-45°=135°=∠BAG，
在△AGB與△AGD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠DAG}&{\;}\\{AG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AGD（SAS），
∴BG=DG=BE=BD，
∴△BGD為等邊三角形，
∴∠GBD=60°，
∴∠DBE=90°-60°=30°，
∴∠DFE=∠DBE+∠BDC=30°+45°=75°；
故答案為：75°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三點共線；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．