Question

△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．
（1）如圖1，求證：CB是⊙O的切線；
（2）如圖2，若⊙O過點H，且AC=5，AB=6，連接EH，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；
（2）根據(jù)CA=CB，CH是高，得到AH=BH=

1

2

AB=3，從而利用勾股定理得到CH=

CA2-AH2

=4，連接OE，然后證得△COE∽△CBH，利用相似三角形的對應邊的比相等得到

OE

BH

=

OC

BC

，從而求得OE，然后根據(jù)直徑2OE計算即可．

解答：（1）證明：∵CA=CB，點O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圓O與CB相切于點E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=

1

2

AB=3，
∴CH=

CA2-AH2

=4，
如圖2，連接OE，
∵∠OCE=∠BCH，∠CEO=∠CHB=90°，
∴△COE∽△CBH，
∴

OE

BH

=

OC

BC

，
即

OE

3

=

4-OE

5

，
解得OE=

3

2

，
所以，直徑=2OE=2×

3

2

=3．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．