Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為$\frac{24}{5}$個(gè)平方單位？
（3）△APQ的面積是否有極值（最大值或有最小值）？若有，求出當(dāng)t等于多少時(shí)有極值并求出這個(gè)極值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由于△APQ與△AOB對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，需分情況討論，可分兩種情況（△APQ∽△AOB或△APQ∽△ABO）討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AO于H，如圖所示，易證△AHQ∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可用t的代數(shù)式表示出QH，從而得到△APQ的面積與t的關(guān)系，根據(jù)條件就可求出t的值；
（3）先用配方法將△APQ的面積與t函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的最值性就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）由題可得AP=t，BQ=2t．
∵A（0，6）、B（8，0），∴OA=6，OB=8．
∵∠AOB=90°，AB=10．
①若△APQ∽△AOB，則$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$．
②若△APQ∽△ABO，則$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$，
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{30}{11}$秒或$\frac{50}{13}$秒時(shí)，△APQ與△AOB相似；

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AO于H，如圖所示，
則有∠AHQ=∠AOB=90°．
又∵∠HAQ=∠OAB，∴△AHQ∽△AOB，
∴$\frac{QH}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{QH}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴QH=$\frac{40-8t}{5}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\frac{40-8t}{5}$=$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$．
當(dāng)S_△APQ=$\frac{24}{5}$時(shí)，$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$=$\frac{24}{5}$，
解得：t₁=2，t₂=3．
∴當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，△APQ的面積為$\frac{24}{5}$個(gè)平方單位；

（3）由（2）得：當(dāng)0＜t＜5時(shí)，S_△APQ=$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$
=-$\frac{4}{5}$（t²-5t）=-$\frac{4}{5}$[（t-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{25}{4}$]=-$\frac{4}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+5．
∵-$\frac{4}{5}$＜0，∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，S_△APQ取最大值，最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最值性等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用配方法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．