Question

10．如圖所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
（1）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm²？
（2）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．
（3）若P點沿射線AB方向從A點出發(fā)以1cm/s的速度移動，點Q沿射線CB方向從C點出發(fā)以2cm/s的速度移動，P，Q同時出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1？

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm²，根據(jù)等量關(guān)系：△PBQ的面積等于8cm²，列出方程求解即可；
（2）設(shè)經(jīng)過y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式即可求解；
（3）分三種情況：①點P在線段AB上，點Q在線段CB上（0＜x＜4）；②點P在線段AB上，點Q在線段CB上（4＜x＜6）；③點P在射線AB上，點Q在射線CB上（x＞6）；進行討論即可求解．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm²，依題意有
$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
經(jīng)檢驗，x₁，x₂均符合題意．
故經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm²；

（2）設(shè)經(jīng)過y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，依題意有
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
$\frac{1}{2}$（6-y）•2y=24，
y²-6y+24=0，
∵△=b²-4ac=36-4×24=-60＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
∴線段PQ不能否將△ABC分成面積相等的兩部分；

（3）①點P在線段AB上，點Q在線段CB上（0＜x＜4），
設(shè)經(jīng)過m秒，依題意有
$\frac{1}{2}$（6-m）（8-2x）=1，
m²-10m+23=0，
解得m₁=5+$\sqrt{2}$，m₂=5-$\sqrt{2}$，
經(jīng)檢驗，m₁=5+$\sqrt{2}$不符合題意，舍去，
∴m=5-$\sqrt{2}$；
②點P在線段AB上，點Q在線段CB上（4＜x＜6），
設(shè)經(jīng)過n秒，依題意有
$\frac{1}{2}$（6-n）（2n-8）=1，
m²-10n+25=0，
解得n₁=n₂=5，
經(jīng)檢驗，n=5符合題意．
③點P在射線AB上，點Q在射線CB上（x＞6），
設(shè)經(jīng)過k秒，依題意有
$\frac{1}{2}$（k-6）（2k-8）=1，
k²-10k+23=0，
解得k₁=5+$\sqrt{2}$，k₂=5-$\sqrt{2}$，
經(jīng)檢驗，k₁=5-$\sqrt{2}$不符合題意，舍去，
∴k=5+$\sqrt{2}$；
綜上所述，經(jīng)過（5-$\sqrt{2}$）秒，5秒，（5+$\sqrt{2}$）秒后，△PBQ的面積為1．

點評 考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．注意分類思想的運用．