Question

5．如圖所示，已知A點從（1，0）點出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動，以O(shè)、A為頂點作菱形OABC，使B、C點都在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°．設(shè)經(jīng)過t秒后，以P（0，3）為圓心，PC為半徑的圓恰好與菱形OABC的邊所在的直線相切，則t=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1或$3\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 分情況討論①先由切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由已知條件得出∠POC=30°，根據(jù)三角函數(shù)求出OC，由菱形性質(zhì)得出OA=OC，即可得出t；②當(dāng)∠OCP=30°時，圓與OA所在直線相切，同理求得t．

解答 解：∵當(dāng)以P（0，3）為圓心，PC為半徑的圓恰好與菱形OABC的邊OC所在的直線相切，
∴∠OCP=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠POC=30°，
∴OC=OP•cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵四邊形OABC是菱形，
∴OA=OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1；
同理當(dāng)以P（0，3）為圓心，PC為半徑的圓恰好與菱形OABC的邊OA所在的直線相切時，求得t=$3\sqrt{3}-1$
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1或$3\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)；運(yùn)用三角函數(shù)求出菱形的邊長是解決問題的關(guān)鍵．