Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點(diǎn)F．
（1）求證：CF=BF；
（2）若BE=4，EF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連AC，由AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，而CE⊥AB，所以∠BAC=∠BCE；由C是弧BD的中點(diǎn)，得到∠DBC=∠BAC，于是∠BCE=∠DBC，即可得到CF=BF．
（2）由勾股定理得BF=CF=5，則CE=8，由相似三角形性質(zhì)得CE²=BE•AB，代入求出AB的值，得出半徑．

解答 （1）證明：連接AC，如圖，
∵C是弧BD的中點(diǎn)，
∴∠DBC=∠BAC，
在ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
又C是弧BD的中點(diǎn)，
∴∠DBC=∠CDB，
∴∠BCE=∠DBC，
∴CF=BF．

（2）解：∵BE=4，EF=3，
∴BF=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∴CF=5，
∴CE=8，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴CE²=BE•AB，
∴AB=$\frac{{CE}^{2}}{BE}$=$\frac{64}{4}$=16，
∴AO=8，
∴圓O的半徑為8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)等，利用圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．