Question

15．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，AE=CF=1，點(diǎn)G、H分別是邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AG=CH．
（1）判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)AG的長(zhǎng)為1或3時(shí)，四邊形EGFH為矩形；
（3）設(shè)四邊形EGFH的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L的范圍是$2\sqrt{5}+2\sqrt{13}≤L≤8\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出EG=FH，EH=GF，即可證明是平行四邊形．
（2）根據(jù)相似三角形得出AG的長(zhǎng)即可．
（3）根據(jù)勾股定理解答即可．

解答 解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形；
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4，
在Rt△AEG和△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AG=CH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG=FH，
同理：EH=GF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）當(dāng)AG的長(zhǎng)為1或3時(shí)，四邊形EGFH為矩形；
理由：設(shè)AG=x，則BG=4-x，BF=3，
當(dāng)四邊形EGFH為矩形時(shí)，∠EGF=90°，
∴∠AGE+∠BGF=90°，
∵∠AGE+∠AEG=90°，
∴AEG=∠BGF，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEG∽△BGF，
∴$\frac{AG}{BF}=\frac{AE}{BG}$，
即$\frac{x}{3}=\frac{1}{4-x}$，
解得：x=1，或x=3，
故答案為：1或3．
（3）當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到AB和CD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EGFH的周長(zhǎng)最小，
EG=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，GF=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，
所以四邊形EGFH的周長(zhǎng)為：$2\sqrt{5}+2\sqrt{13}$，
當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到AE=AG，CF=CH時(shí)，四邊形EGFH的周長(zhǎng)最大，
EG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，GF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
所以四邊形EGFH的周長(zhǎng)為：8$\sqrt{2}$，
所以L的范圍是$2\sqrt{5}+2\sqrt{13}≤L≤8\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明四邊形EGFH是平行四邊形．