Question

3．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x=1，與y軸的交點為c（0，4），y的最大值為5，頂點為M，過點D（0，1）且平行于x軸的直線與拋物線交于點A，B．
（Ⅰ）求該二次函數(shù)的解析式和點A、B的坐標；
（Ⅱ）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，求出所有點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先確定頂點M的坐標，再設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x-1）²+5，然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；在計算函數(shù)值為1所對應(yīng)的自變量的值即可得到A、B點的坐標；
（Ⅱ）先計算出CD=3，BD=1，AM=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，則利用勾股定理的逆定理得到△ACM為直角三角形，∠ACM=90°，則可判斷△ACM∽△CDB，由此可判斷P點坐標為（0，3），如圖1；接著求出直線AM的解析式為y=-2x+7，直線AC的解析式為y=-x+4，作PM⊥AC于P，如圖2，易得Rt△AMP∽Rt△CDB，然后利用兩直線垂直的關(guān)系可求出直線PM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，從而可確定P點坐標為（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$），

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意得拋物線的頂點M的坐標為（1，5），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+5，
把C（0，4）代入y=a（x-1）²+5得a+5=4，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x-1）²+5，即y=-x²+2x+4；
當y=1時，-x²+2x+4=1，解得x₁=-1，x₂=3，則B（-1，1），A（3，1）；
（Ⅱ）CD=3，BD=1，AM=$\sqrt{（1-3）^{2}+（5-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{3}^{2}+（4-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵CM²+AC²=AM²，
∴△ACM為直角三角形，∠ACM=90°，
∵$\frac{CM}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，$\frac{AC}{CD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CM}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$，
而∠ACM=∠CDB，
∴△ACM∽△CDB，
∴點P在C點時，滿足條件，此時P點坐標為（0，3），如圖1；
作PM⊥AC于P，如圖2，
∵△ACM∽△CDB，
∴∠MAC=∠DCB，
作PM⊥AC于P，如圖2，
∴Rt△AMP∽Rt△CDB，
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
把M（1，5），A（3，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
直線AM的解析式為y=-2x+7，
同樣可得直線AC的解析式為y=-x+4，
作PM⊥AC于P，如圖1，設(shè)直線PM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+p，
把M（1，5）代入得$\frac{1}{2}$+p=5，解得p=$\frac{9}{2}$，
∴直線PM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
∴P點坐標為（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，3）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$）

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式．