Question

13．在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（0，4），點(diǎn)B在直線y=kx+6（k＞0）上，若以O(shè)、A、B為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，k的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 3
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 當(dāng)使△AOB為直角三角形的點(diǎn)B有且只有三個(gè)時(shí)可知直線y=kx+6與以O(shè)A為直徑的圓相切，利用銳角三角函數(shù)可求得k值．

解答 解：以點(diǎn)A，O，B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，
當(dāng)直角頂點(diǎn)是A和O時(shí)，直線y=kx+6上各存在一個(gè)點(diǎn)B滿(mǎn)足條件，
要以O(shè)、A、B為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，直角頂點(diǎn)是B的△AOB只需存在一個(gè)，
所以，以O(shè)A為直徑的圓C與直線y=kx+6相切，
如圖，
設(shè)切點(diǎn)為B，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B'、D，連接CB，
在y=kx+6中令y=0，得x=6，
∴OD=6，且OC=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴CD=4，
在Rt△CDB中，BC=2，CD=4，
∴sin∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ODB'=30°，
在Rt△OB'D中，∠ODB'=30°，OD=6，
∴tan∠ODB'=$\frac{OB'}{OD}$，
∴tan30°=$\frac{OB'}{6}$，
∴OB'=6tan30°=2$\sqrt{3}$，
∵k＞0，
∴B'（-2$\sqrt{3}$，0），
將點(diǎn)B'（-2$\sqrt{3}$，0）代入y=kx+6中，得，-2$\sqrt{3}$k+6=0，
∴k=$\sqrt{3}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題試一次函數(shù)綜合題，主要考查了解直角三角形，直線與圓的位置關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是確定出滿(mǎn)足條件的直線所在的位置，是一道基礎(chǔ)題目．