Question

15．把長(zhǎng)與寬之比為$\sqrt{2}$的矩形紙片稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)紙．現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙，BC=$\sqrt{2}$，AB=1，將這張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖，一次又一次對(duì)開(kāi)后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙．問(wèn)第5次對(duì)開(kāi)后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，第2014次對(duì)開(kāi)后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為$\frac{1+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．

Answer 1

分析 分別求出每一次對(duì)折后的周長(zhǎng)，進(jìn)而得出變化規(guī)律求出即可．

解答 解：對(duì)開(kāi)第一次，周長(zhǎng)為：2（1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$，
第二次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\sqrt{2}$，
第三次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
第四次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
第五次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{8}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
第六次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{8}$+$\frac{\sqrt{2}}{8}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，
…
∴第5次對(duì)開(kāi)后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)是：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
第2014次對(duì)開(kāi)后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為：$\frac{1+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．
故答案為：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了翻折變換性質(zhì)以及規(guī)律性問(wèn)題應(yīng)用，根據(jù)已知得出對(duì)開(kāi)后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．