Question

4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．
（3）在（2）問(wèn)下當(dāng)△ABC再滿足一個(gè)什么條件，四邊形ADCF為正方形．

Answer 1

分析 （1）連接DF，由AAS證明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AD⊥BC，得出∠ADC=90°，根據(jù)正方形的判定得出即可．

解答 （1）證明：連接DF，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴EF=BE，
∵AE=DE，
∴四邊形AFDB是平行四邊形，
∴BD=AF，
∵AD為中線，
∴DC=BD，
∴AF=DC；
（2）解：四邊形ADCF的形狀是菱形，理由如下：
∵AF=DC，AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∵AD為中線，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形；
（3）解：當(dāng)△ABC滿足AC=AB時(shí)，四邊形ADCF為正方形，理由如下：
∵∠CAB=90°，AC=AB，AD為中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴四邊形ADCF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形、矩形、正方形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，由一定難度，利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力．