Question

17．已知銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC．垂足為D．
（1）如圖1，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，BD=DC，求∠B的度數(shù)．
（2）如圖2，BE⊥AC，垂足為E，BE交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG∥AD交⊙O于點(diǎn)G，在AB邊上取一點(diǎn)H，使得AH=BG；求證：△AFH是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$可知AB=BC，再由AD⊥BC，BD=DC可知AD是線段BC的垂直平分線，故AB=AC，由此可知△ABC是等邊三角形，故可得出結(jié)論；
（2）連接GC，GA，根據(jù)BG⊥BC可知GC是⊙O的直徑，故∠GAC=90°，由此可判斷出四邊形GBFA是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴AB=BC．
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°；

（2）連接GC，GA，
∵BG⊥BC，
∴GC是⊙O的直徑，
∴∠GAC=90°．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠GAC=90°，
∴AG∥BE．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠GBC=90°，
∴BG∥AD，
∴四邊形GBFA是平行四邊形，
∴BG=AF．
∵BG=AH，
∴AH=AF，
∴△AFH是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．