Question

8．已知DE=CE，AC=AB，∠CED=∠CAB=90°，N是BD中點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：EN⊥AN，EN=AN；
（2）將△DCE繞C旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，其他條件不變，試探究EN與AN的關(guān)系并證明；
（3）如圖3，M是CD的中點(diǎn)，BE交AM于F，填空：$\frac{AM}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長(zhǎng)EN交AB于F．只要證明△EDN≌△FBN，△AEF是等腰三角形即可．
（2）結(jié)論：EN=AN，EN⊥AN．如圖2中，延長(zhǎng)EN到F，使得EN=NF，延長(zhǎng)CA、BF交于點(diǎn)G，先證明△EDN≌△FBN，再證明△ACE≌△ABF，即可解決問(wèn)題．
（3）結(jié)論：$\frac{AM}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．作AN⊥BE，使得AN=BE，AN交BE于J，連接CN，NM，延長(zhǎng)NM到H，使得MH=MN，連接HD、HE、AH、AE，延長(zhǎng)NC交DE于G，延長(zhǎng)AE交NG于O，延長(zhǎng)DE到P．利用全等三角形的性質(zhì)，想辦法證明四邊形EHAB是平行四邊形，△ANH是等腰直角三角形即可．

解答 （1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)EN交AB于F．

∵∠CED=∠CAB=90°，
∴DE⊥AC，AB⊥AC，
∴DE∥AB，
∴∠EDN=∠FBN，
在△EDN和△FBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDN=∠FBN}\\{DN=BN}\\{∠DNE=∠BNF}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△FBN，
∴DE=FB=EC，EN=NF，
∵AC=AB，
∴AE=AF，∵EN=NF，
∴AN=EN=FN，AN⊥EF，
∴AN⊥EN，AN=EN．

（2）結(jié)論：EN=AN，EN⊥AN．
理由：如圖2中，延長(zhǎng)EN到F，使得EN=NF，延長(zhǎng)CA、BF交于點(diǎn)G，

在△EDN和△FBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=BN}\\{∠DNE=∠BNF}\\{EN=NF}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△FBN，
∴DE=BF=CE，∠EDN=∠FBN，
∴DE∥BF，
∴∠CED=∠CHG=90°，
∴∠1+∠G=90°，∠2+∠G=90°，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠1=∠2}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABF，
∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，
∴∠EAF=∠CAB=90°，
∵EN=NF，
∴AN⊥EF，AN=EN=NF，
∴EN=AN，EN⊥AN．

（3）如圖3中，結(jié)論：$\frac{AM}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

理由：作AN⊥BE，使得AN=BE，AN交BE于J，連接CN，NM，延長(zhǎng)NM到H，使得MH=MN，連接HD、HE、AH、AE，延長(zhǎng)NC交DE于G，延長(zhǎng)AE交NG于O，延長(zhǎng)DE到P．
∵∠CAN+∠BAN=90°，∠BAN+∠ABE=90°，
∴∠CAN=∠ABE，
∵AC=AB，AN=EB，
∴△CAN≌△ABE，
∴AE=CN，∠AEB=∠CNA，
∵∠AEB+∠EAJ=90°，
∴∠ANO+∠EAJ=90°，
∴∠NOA=90°，
∵∠EGO+∠OEC=90°，∠OEC+∠OCE=90°，
∴∠OCE=∠GEO=∠AEP，
∵DM=MC，∠DMH=∠NMC，NM=MH，
∴△DMH≌△CMN，
∴DH=CN，∠DHM=∠MNC，
∴DH∥NG，
∴∠HDE=∠DGC，
∵∠DGC=∠DEC+∠OCE=90°+∠OCE，
∴∠HDE=90°+∠OCE=90°+∠AEP=∠AEC，
∵DH=AE，DE=EC，
∴△DHE≌△EAC，
∴HE=AC=AB，∠HED=∠ECA，
∵∠ECA+∠EKC=90°，∠APK+∠AKP=90°，∠AKP=∠EKC，
∴∠ECK=∠APK=∠HED，
∴HE∥AB，
∴四邊形HEBA是平行四邊形，
∴AH=BE=AN，
∵AH=AN，AE=CN，HE=AC，
∴△ACN≌△HEA，
∴∠HAE=∠CNA，
∵∠ANC+∠NAO=90°，
∴∠HAE+∠NAO=90°，
∴∠HAN=90°，
∴△HAN是等腰直角三角形，
∵M(jìn)H=MN，
∴AM=MN=MH，
∴△AHM，△AMN都是等腰直角三角形，
∴AN=$\sqrt{2}$AM，
∴BE=$\sqrt{2}$AM．
∴$\frac{AM}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．