Question

19．已知二次函數(shù)y=a（x-m）²-a（x-m）（a，m為常數(shù)，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=25，求m的值；
（3）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把（x-m）看作一個(gè)整體，令y=0，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出x₁=m，x₂=m+1，根據(jù)x₁²+x₂²=25，代入得到關(guān)于m的方程，解方程即可求解；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AB，再把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答 （1）證明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）解：y=0，則a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∵x₁²+x₂²=25，
∴m²+（m+1）²=25，
解得m₁=-4，m₂=3．
故m的值為-4或3；

（3）解：∵x₁=m，x₂=m+1，
∴AB=（m+1）-m=1，
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{a}{4}$，
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×1×|-$\frac{a}{4}$|=1，
解得a=±8．
故a的值是±8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，主要利用了根的判別式，三角形的面積，把（x-m）看作一個(gè)整體求解更加簡(jiǎn)便．