Question

7．隨著“一帶一路”的進一步推進，我國瓷器（“china”）更為“一帶一路”沿線人民所推崇，一外國商戶看準這一商機，向我國一瓷器經(jīng)銷商咨詢工藝品茶具，得到如下信息：
（1）每個茶壺的批發(fā)價比茶杯多110元；
（2）一套茶具包括一個茶壺與四個茶杯；
（3）600元批發(fā)茶壺的數(shù)量與160元批發(fā)茶杯的數(shù)量相同．
根據(jù)以上信息：
（1）求茶壺與茶杯的批發(fā)價；
（2）若該商戶購進茶杯的數(shù)量是茶壺數(shù)量的5倍還多20個，并且總數(shù)不超過200個，該商戶打算將一半的茶具按每套500元成套銷售，其余按每個茶壺270元，每個茶杯70元零售，請幫助他設計一種獲取利潤最大的方案，并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （1）設茶杯的批發(fā)價為x元/個，則茶壺的批發(fā)價為（x+110）元/個，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價結(jié)合600元批發(fā)茶壺的數(shù)量與160元批發(fā)茶杯的數(shù)量相同，即可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設商戶購進茶壺m個，則購進茶杯（5m+20）個，根據(jù)總數(shù)不超過200個，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設利潤為w，根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售數(shù)量結(jié)合銷售方式，即可得出w關于m的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）設茶杯的批發(fā)價為x元/個，則茶壺的批發(fā)價為（x+110）元/個，
根據(jù)題意得：$\frac{600}{x+110}$=$\frac{160}{x}$，
解得：x=40，
經(jīng)檢驗，x=40是原分式方程的解，
∴x+110=150．
答：茶杯的批發(fā)價為40元/個，則茶壺的批發(fā)價為150元/個．
（2）設商戶購進茶壺m個，則購進茶杯（5m+20）個，
根據(jù)題意得：m+5m+20≤200，
解得：m≤30．
若利潤為w元，則w=$\frac{1}{2}$m（500-150-4×40）+$\frac{1}{2}$m×（270-150）+（5m+20-$\frac{1}{2}$×4m）×（70-40）=245m+600，
∵w隨著m的增大而增大，
∴當m取最大值時，利潤w最大，
當m=30時，w=7950．
∴當購進30個茶壺、170個茶杯時，有最大利潤，最大利潤為7950元．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應用、分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量=總價÷單價，列出關于x的分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量關系，找出w關于m的函數(shù)關系式．