Question

3．如圖，拋物線y=-x²+6x交x軸正半軸于點A，頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B，過點C（2，0）作射線CD交MB于點D（D在x軸上方），OE∥CD交MB于點E，EF∥x軸交CD于點F，作直線MF．
（1）求點A，M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？
（3）當(dāng)BD=1時，求直線MF的解析式，并判斷點A是否落在該直線上．

Answer 1

分析 （1）代入y=0求出x值，即可得出點A的坐標(biāo)；利用配方法將拋物線變形為頂點式，由此即可得出頂點M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)BD=a（a＞0），由OE∥CD可得出△EOB∽△DCB，由此可得出$\frac{BE}{BD}=\frac{BO}{BC}$，根據(jù)點B、C點的坐標(biāo)即可得出BE的長度，將其代入拋物線解析式中求出x-3的值，進而可得出EF的長度，再根據(jù)OE∥CD、EF∥x軸，即可得出四邊形OCFE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出EF=OC，由此可得出關(guān)于a的方程，解方程即可得出a的值；
（3）根據(jù)（2）結(jié)合BD=1即可得出BE的長度，將其代入拋物線解析式中即可求出點F的坐標(biāo)，根據(jù)點M、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線MF的解析式，代入點A的橫坐標(biāo)求出y值，通過比較即可得出點A不在直線MF上．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，有-x²+6x=-x（x-6）=0，
解得：x₁=0，x₂=6，
∴點A的坐標(biāo)為（6，0）；
∵y=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∴點M的坐標(biāo)為（3，9）．
（2）設(shè)BD=a（a＞0），
∵OE∥CD，
∴∠EOB=∠DCB，
∴△EOB∽△DCB，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{BO}{BC}$．
∵M（3，9），MB⊥x軸于點B，
∴B（3，0），
∴BO=3．
∵C（2，0），
∴CO=2，BC=BO-CO=1，
∴BE=3BD=3a．
當(dāng)y=3a時，有3a=-（x-3）²+9，
∴EF=x-3=$\sqrt{9-3a}$．
∵OE∥CD，EF∥x軸，
∴四邊形OCFE為平行四邊形，
∴EF=CO=$\sqrt{9-3a}$=2，
解得：a=$\frac{5}{3}$．
∴當(dāng)BD為$\frac{5}{3}$時，點F恰好落在該拋物線上．
（3）∵BE=3BD，BD=1，
∴BE=3，
當(dāng)y=3時，有3=-x²+6x，
解得：x=3±$\sqrt{6}$，
∴點F的坐標(biāo)為（3+$\sqrt{6}$，3）．
設(shè)直線MF的解析式為y=kx+b，
將點M（3，9）、F（3+$\sqrt{6}$，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9=3k+b}\\{3=（3+\sqrt{6}）k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{6}}\\{b=9+3\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
∴直線MF的解析式為y=-$\sqrt{6}$x+9+3$\sqrt{6}$．
當(dāng)x=6時，y=-6$\sqrt{6}$+9+3$\sqrt{6}$=9-3$\sqrt{6}$＞0，
∴點A不在直線MF：y=-$\sqrt{6}$x+9+3$\sqrt{6}$上．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點A的坐標(biāo)；（2）找出關(guān)于a的方程；（3）利用待定系數(shù)法求出直線MF的解析式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出對應(yīng)邊的比是關(guān)鍵．