Question

8．如圖，△ABC中D、E、F分別是各邊的中點，連接AE、DF．
（1）AE、DF有什么關(guān)系？
（2）△ABC滿足什么條件時，AE⊥DF？
（3）△ABC滿足什么條件時，AE=DF？
（4）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形？

Answer 1

分析 （1）證出DE、EF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DE∥AC，EF∥AB，證出四邊形ADEF為平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出AE⊥BC，證出DF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DF∥BC，因此AD⊥DF．
（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AE=$\frac{1}{2}$BC，然后由三角形中位線定理得到DF=$\frac{1}{2}$BC；則DF=AE；
（4）由（2）（3）的結(jié)論直接得到結(jié)論．

解答 解：（1）AE與DF互相平分，理由如下：
∵D、E、F分別是△ABC各邊的中點，
∴DE、EF是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四邊形ADEF為平行四邊形，
∴AE與DF互相平分．
（2）當△ABC是等腰三角形，即：AB=AC時，AE⊥DF；理由如下：
∵AB=AC，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
∵D、F分別是AB、AC的中點，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥BC，
∴AD⊥DF，
（3）當△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°時，AE=DF；理由如下：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，E為BC的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
又∵D、F分別為AB、AC的中點，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC．
∴DF=AE，
（4）當△ABC等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°時，四邊形ADEF是正方形；
理由如下：
由（1）知，四邊形AFDE是平行四邊形，
由（2）知，AD⊥EF，
∴平行四邊形AFDE是菱形，
由（3）知，AD=DF，
∴菱形AFDE是正方形．

點評 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形AFDE為平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．