Question

已知，在△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F．
（1）若∠A=60°，求∠FDE的度數(shù)；
（2）若∠A=130°，求∠FDE的度數(shù)；
（3）你能猜想出∠FDE與∠A有什么數(shù)量關(guān)系嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：（1）連接IE，IF，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得出∠AEI和∠AFI等于90°，再由∠A=60°，從而得出∠EIF，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，求得∠FDE．
（2）思路同（1）；
（3）∠FDE=90°-

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∠A．連結(jié)IE、IF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠AEI=∠AFI=90°，利用四邊形內(nèi)角和得到∠A+∠EIF=180°，再由圓周角定理得∠EIF=2∠FDE，所以∠A+2∠EDF=180°，然后變形即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）連接IE，IF，
∵內(nèi)切圓I和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∵∠A=60°，
∴∠EIF=120°，
∴∠FDE=60°．
答：∠FDE的度數(shù)為60°；
（2）若∠A=130°，則∠FDE的度數(shù)=25°；
（3）∠FDE=90°-

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∠A．理由如下：
連結(jié)IE、IF，如圖，
∵內(nèi)切圓I與邊CA，AB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∴∠A+∠EIF=180°，
∵∠EIF=2∠FDE，
∴∠A+2∠EDF=180°，
∴∠FDE=90°-

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∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)．