Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是$\widehat{AB}$的中點．
（1）求證：∠ABP=45°；
（2）若AC=6，BC=8，連接CP交AB于D，求$\frac{CD}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠APB=90°，又由點P是$\widehat{AB}$的中點，可得AP=BP，即可得△APB是等腰直角三角形，繼而求得∠ABP=45°；
（2）首先過點C作CE⊥AB于點E，連接OP，由AC=6，BC=8，可求得AB的長，繼而求得OP的長，然后利用三角形的面積公式，求得CE的長，易證得△PDO∽△CDE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∵點P是$\widehat{AB}$的中點，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，
∴AP=BP，
∴∠ABP=45°；

（2）解：過點C作CE⊥AB于點E，連接OP，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，OP=5，
∵AP=BP，OA=OB，
∴PO⊥AB，
∴∠POD=∠CED=90°，
∵∠PDO=∠CDE，
∴△PDO∽△CDE，
∴$\frac{CD}{PD}=\frac{CE}{PO}$=$\frac{\frac{24}{5}}{5}$=$\frac{24}{25}$．

點評 此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．