Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，△ABC是邊長為2的等邊三角形，將△ABC繞著點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△EDB，使得點(diǎn)E落在x軸的正半軸上，連結(jié)CE、AD、
（1）求證：AD=CE；
（2）求AD的長；
（3）求過C、E兩點(diǎn)的直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由三角形DBE是由三角形ABC旋轉(zhuǎn)得到的，利用等邊三角形的性質(zhì)及平角定義求出∠DBC=60°，利用SAS得到三角形ABD與三角形BCE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）作DF⊥AE，交x軸于點(diǎn)F，利用三線合一得到F為BE的中點(diǎn)，由BE長求出BF的長，在直角三角形BDF中，利用勾股定理求出DF的長，在直角三角形ADF中，利用勾股定理求出AD的長即可；
（3）作CG⊥AB，交x軸于點(diǎn)G，利用三線合一得到G為AB中點(diǎn)，求出AG與CG的長，表示出C坐標(biāo)，再由AB+BE求出AE的長，表示出E坐標(biāo)，設(shè)過C，E的直線解析式為y=kx+b，把C與E坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出解析式．

解答 （1）證明：∵△ABC為邊長為2的等邊三角形，
∴∠ACB=∠CBA=∠BAC=60°，AC=AB=BC=2，
∵△DBE是由△ABC繞著點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，
∴△DBE也是邊長為2的等邊三角形，
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，AB=BC，BD=BE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE=120°}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；
（2）解：作DF⊥AE，交x軸于點(diǎn)F，則F為BE的中點(diǎn)，即BF=1，
在Rt△BDF中，BD=2，BF=1，
根據(jù)勾股定理得：DF=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADF中，AF=AB+BF=3，DF=$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得：AD=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$；
（3）解：作CG⊥AB，交x軸于點(diǎn)G，則G為AB中點(diǎn)，即AG=1，CG=DF=$\sqrt{3}$，
∴C（1，$\sqrt{3}$），
∵AE=AB+BE=4，
∴E（4，0），
設(shè)過C與E的直線解析式為y=kx+b，
把C與E坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則過C，E兩點(diǎn)的直線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形三線合一性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．