Question

2．如圖，在△ABD中，AB=AD，以AB為直徑的⊙F交BD于點C，交AD于點E，CG⊥AD于點G，連接FE，F(xiàn)C．
（1）求證：GC是⊙F的切線；
（2）填空：
①若∠BAD=45°，AB=2$\sqrt{2}$，則△CDG的面積為$\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．
②當(dāng)∠GCD的度數(shù)為30°時，四邊形EFCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠D=∠BCF，證出CF∥AD，由已知條件得出CG⊥CF，即可得出結(jié)論；
（2）解：①連接AC，BE，根據(jù)圓周角定理得到AC⊥BD，∠AEB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=CD，解直角三角形得到DE=2$\sqrt{2}$-2，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DG=EG=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{2}$-1，CG=$\frac{1}{2}$BE=1，于是得到結(jié)論；
②證出△BCF是等邊三角形，得出∠B=60°，CF=BF=$\frac{1}{2}$AB，證出△ABD是等邊三角形，CF=$\frac{1}{2}$AD，證出△AEF是等邊三角形，得出AE=AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，因此CF=DE，證出四邊形EFCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AD，F(xiàn)B=FC，
∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，
∴∠D=∠BCF，
∴CF∥AD，
∵CG⊥AD，
∴CG⊥CF，
∴GC是⊙F的切線；
（2）解：①∵連接AC，BE，
∵AB是⊙F的直徑，
∴AC⊥BD，∠AEB=90°，
∵AB=AD，
∴BC=CD，
∵∠BAD=45°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴BE=AE=2，
∴DE=2$\sqrt{2}$-2，
∵CG⊥AD，
∴CG∥BE，
∴DG=EG=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{2}$-1，CG=$\frac{1}{2}$BE=1，
∴△CDG的面積=$\frac{1}{2}$DG•CG=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}$；

②當(dāng)∠GCD的度數(shù)為30°時，四邊形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等邊三角形，
∴∠B=60°，CF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，CF=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∵CF=EF，
∴四邊形EFCD是菱形；
故答案為：30°．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓的半徑相等、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識；熟練掌握切線的判定方法，證明CF∥AD是解決問題（1）的關(guān)鍵．