Question

1．設(shè)點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，線段DE和AF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE上，且AQ∥PC．
（1）連接AC，證明：PC=2AQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，AP與PF滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）〖法二〗如圖2，延長(zhǎng)DE，CB相交于點(diǎn)R，作BM∥PC，根據(jù)AQ∥PC，BM∥PC，和E是AB的中點(diǎn)，D、E、R三點(diǎn)共線，求證△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求證△RBM∽△RCP，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明結(jié)論．
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，PF=2AP不成立．作BN∥AF，交RD于點(diǎn)N．根據(jù)△RBN∽R(shí)FP．利用F是BC的中點(diǎn)，RB=BC，可得$\frac{BN}{PF}=\frac{RB}{RF}$=$\frac{2}{3}$，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．求證△BNE≌△APE即可．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)DE，CB相交于點(diǎn)R，作BM∥PC．如圖1所示：
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中點(diǎn)，D、E、R三點(diǎn)共線，
∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB．
∴AD=BR=BC
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，
相似比是$\frac{1}{2}$．
PC=2MB=2AQ．
（2）解：當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，AP=$\frac{2}{3}$PF．理由如下：
作BN∥AF，交RD于點(diǎn)N．如圖2所示；
則△RBN∽R(shí)FP．
∵F是BC的中點(diǎn)，
由（1）得：RB=BC，
∴RB=$\frac{2}{3}$RF．
∴$\frac{BN}{PF}=\frac{RB}{RF}$=$\frac{2}{3}$，
又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．
∴△BNE≌△APE，
∴AP=BN．
∴AP=BN=$\frac{2}{3}$PF．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，是一道中考?jí)狠S題．