Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點M，BE⊥CD于點E．
（1）求證：∠BME=∠MAB；
（2）如果BE=$\frac{18}{5}$，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)得出∠BME+∠OMB=90°，再由直徑得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判斷出結(jié)論；
（2）先在Rt△BEM中，用三角函數(shù)求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函數(shù)和勾股定理計算即可．

解答 （1）如圖，連接OM．
∵直線CD切⊙O于點M．
∴∠OMD=90°．
∴∠BME+∠OMB=90°．
∵AB為⊙O的直徑．
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°．
∴∠BME=∠AMO．
∵OA=OM．
∴∠MAB=∠AMO．
∴∠BME=∠MAB；

（2）由（1）可得，∠BME=∠MAB．
∵sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BME=$\frac{3}{5}$
在Rt△BEM中，BE=$\frac{18}{5}$．
∴sin∠BME=$\frac{BE}{BM}$=$\frac{3}{5}$．
∴BM=6，在Rt△ABM中，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$．
∴sin∠BAM=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{3}{5}$．
∴AB=$\frac{3}{5}$BM=10．
∴⊙O的半徑=5

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直徑，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．