Question

4．如圖，矩形ABCD中，AB=3AD，E、F在AB上，且AE=EF=FB，AC交DF于G，連接EG．求證：EG⊥DF．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)得CD=AB，CD∥AB，∠DAB=90°，設(shè)AD=a，則AB=3AD=CD=3a，AE=EF=BF=a，則在Rt△ADF中利用勾股定理可計(jì)算出DF=$\sqrt{5}$a，接著證明△AFG∽△CGD，利用相似比可得$\frac{GF}{DG}$=$\frac{2}{3}$，則GF=$\frac{2}{5}$DF=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$a，則可計(jì)算出$\frac{FG}{FA}$=$\frac{FE}{FD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，加上∠GFE=∠AFD，于是可判斷△FGE∽△FAD，根據(jù)相似的性質(zhì)得∠FGD=∠FAD=90°．

解答 證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB，CD∥AB，∠DAB=90°，
設(shè)AD=a，則AB=3AD=CD=3a，AE=EF=BF=a，
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵AF∥CD，
∴△AFG∽△CGD，
∴$\frac{GF}{DG}$=$\frac{AF}{CD}$=$\frac{2a}{3a}$=$\frac{2}{3}$，
∴GF=$\frac{2}{5}$DF=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$a，
∵$\frac{FG}{FA}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}a}{5}}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{FE}{FD}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{FG}{FA}$=$\frac{FE}{FD}$，
而∠GFE=∠AFD，
∴△FGE∽△FAD，
∴∠FGD=∠FAD=90°，
∴EG⊥DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；利用三角形相似的性質(zhì)計(jì)算有關(guān)線段的長(zhǎng)．也考查了矩形的性質(zhì)．