Question

17．如圖，一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象與y軸交于點B，與正比例函數(shù)y=k₁x的圖象相交于點A（4，3），且OA=OB．
（1）分別求出這兩個函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A坐標，可以求出正比例函數(shù)解析式，再求出點B坐標即可求出一次函數(shù)解析式．
（2）如圖1中，過A作AD⊥y軸于D，求出AD即可解決問題．
（3）分三種情形討論即可①OA=OP，②AO=AP，③PA=PO．

解答 解：∵正比例函數(shù)y=k₁x的圖象經(jīng)過點A（4，3），
∴4k₁=3，
∴k₁=$\frac{3}{4}$，
∴正比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{4}$x．
如圖1中，過A作AC⊥x軸于C，在RT△AOC中，OC=4，AC=3
AO=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴OB=OA=5，
∴B（0，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{k}_{2}+b=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=2x-5．

（2）如圖1中，過A作AD⊥y軸于D，
∵A（4，3），
∴AD=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OB•AD=$\frac{1}{2}$×5×4=10，

（3）如圖2中，當OP=OA時，P₁（-5，0），P₂（5，0），
當AO=AP時，P₃（8，0），
當PA=PO時，線段OA的垂直平分線為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$，
∴P₄（$\frac{25}{8}$，0），
∴滿足條件的點P的坐標（-5，0）或（5，0）或（8，0）或（$\frac{25}{8}$，0）．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形面積、等腰三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會分類討論，不能漏解，屬于中考�？碱}型．