Question

16．如圖，△ABC為等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°．M、N為直線BC上兩點，BN=CM．連接AM．過C作CD⊥AM交直線AB于D，連接DN．
（1）如圖1，當(dāng)M、N重合時，求證：∠AMC=∠DNB；
（2）如圖2，當(dāng)M、N不重合時，（1）中結(jié)論還成立嗎？試說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在BC、CB的延長線上時，作圖并直接寫出∠AMC與∠DNB之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠2，推出△AGC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，證得△CGM≌△BDN（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠2，推出△AC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，證得△CGM≌△BDN（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖3，過點C作CF⊥AB交AM的延長線于點G，由CH⊥AM，得到∠GHC=∠GFB=90°，由于∠GCH=∠FCD，得到∠G=∠CDB，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)得到∠ACG=∠CBD=135°，推出△ACG≌△CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CG，證得∠MCG=∠NBD，推出△CGM≌△NBD（SAS），于是得到∠GMC=∠N，由于∠AMC+∠GMC=180°，等量代換得到∠AMC+∠DNB=180°．

解答 解：（1）作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖1，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，
∵CD⊥AM，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=BC}\\{∠ACG=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CDB（ASA），
∴CG=BD，
在△CGM和△BDM中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BD}\\{∠GCM=∠B}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△BDN（SAS），
∴∠CMA=∠DNB；

（2）（1）中結(jié)論還成立，
作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖2，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，
∵CD⊥AM，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=BC}\\{∠ACG=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CDB（ASA），
∴CG=BD，
在△CGM和△BDM中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BD}\\{∠GCM=∠B}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△BDN（SAS）
∴∠CMA=∠DNB；

（3）∠AMC+∠DNB=180°，
如圖3，過點C作CF⊥AB交AM的延長線于點G，
∴CH⊥AM，
∴∠GHC=∠GFB=90°，
∵∠GCH=∠FCD，
∴∠G=∠CDB，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACF=∠CBF=45°，
∴∠ACG=∠CBD=135°，
在△ACG和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠BDC}\\{∠ACG=∠CBD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△CBD，
∴BD=CG，
∵∠BCF=∠GCM，∠DBN=∠ABC，∠FCB=∠FBC=45°，
∴∠MCG=∠NBD，
在△CGM和△NBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BN}\\{∠MCG=∠DBN}\\{CG=BD}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△NBD（SAS），
∴∠GMC=∠N，
∵∠AMC+∠GMC=180°，
∴∠AMC+∠DNB=180°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．