Question

11．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C．
（1）求證：AB=AC；
（2）若OA=10，PC=4$\sqrt{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OB，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OBP+∠PBA=90°，而∠ACP+∠CPA=90°，加上∠OPB=∠OBP，∠OPB=∠CPA，利用等角的余角相等得到∠ACP=∠CBA，所以AB=AC；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得AC²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²，AB²=10²-r²，則利用AB=AC得到（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²=10²-r²，然后解方程即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵AB為切線，
∴∠OBA=90°，即∠OBP+∠PBA=90°，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACP+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
而∠OPB=∠CPA，
∴∠CPA=∠OBP．
∴∠ACP=∠CBA，
∴AB=AC；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△PAC中，PA=OA-OP=10-r，
∴AC²=PC²-PA²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²，
在Rt△ABO中，AB²=OA²-OB²=10²-r²，
而AB=AC，
∴（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²=10²-r²，解得r=6，
即⊙O的半徑為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了勾股定理．