Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，⊙O的切線BP與AC的延長線交于點(diǎn)P，連接DE，BE．
（1）求證：$\widehat{BD}=\widehat{DE}$；
（2）求證：∠AED=∠BCP；
（3）已知：sin∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AB=10，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）先由直徑所對(duì)的圓周角是直角得：∠ADB=90°，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）由四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：∠DEC=∠ABC，再根據(jù)等邊對(duì)等角證明∠DEC=∠ACB，最后由等角的補(bǔ)角相等可得結(jié)論；
（3）先根據(jù)已知的三角函數(shù)得：BD=2$\sqrt{5}$，三線合一可知：BC=4$\sqrt{5}$，利用勾股定理計(jì)算AD=4$\sqrt{5}$，證明△AED∽△BCP，可得：BP=2CP，設(shè)CP=x，則BP=2x，在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．

解答 證明：（1）連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DE}$；

（2）∵A、B、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠DEC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∴∠AED=∠BCP；

（3）∵sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BD}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
∴DE=BD=DC=2$\sqrt{5}$，
∴BC=4$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠DAE=∠BAD=∠PBC，
由（2）得：∠AED=∠BCP；
∴△AED∽△BCP，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{ED}{PC}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{BP}=\frac{2\sqrt{5}}{PC}$，
∴BP=2CP，
設(shè)CP=x，則BP=2x，
在Rt△ABP中，AB²+BP²=AP²，
10²+（2x）²=（10+x）²，
解得：x₁=0（舍），x₂=$\frac{20}{3}$，
∴BP=2x=$\frac{40}{3}$；
則BP的長是$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、三角形相似的性質(zhì)和判定以及圓中圓周角、弧的關(guān)系，難度適中，熟練掌握?qǐng)A中圓周角、弧的關(guān)系是關(guān)鍵，并與等腰三角形的性質(zhì)相結(jié)合，利用方程的思想求線段的長．