Question

3．如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊上的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EC+ED取最小值時(shí)，求△ECB的面積．

Answer 1

分析 作AF⊥AC于點(diǎn)A，截取AF=$\frac{1}{2}$BC，連接CF，則CF與AB的交點(diǎn)就是E，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高線的比等于相似比即可求得△BCE中BC邊上的高，利用三角形面積公式求解．

解答 解：作AF⊥AC于點(diǎn)A，截取AF=$\frac{1}{2}$BC，連接CF，則CF與AB的交點(diǎn)就是E，且AF∥BC．作HG⊥BC，交AF于點(diǎn)H．
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴$\frac{EG}{HE}=\frac{BC}{AF}=2$，
∴GE=$\frac{2}{3}$HG=$\frac{2}{3}AC$=$\frac{4}{3}$．
∴S_△ECB=$\frac{1}{2}$BC•EG=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確確定E的位置是關(guān)鍵．