Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+4（m-$\frac{1}{2}$）=0．
（1）判斷這個一元二次方程的根的情況；
（2）對任意實數(shù)m，這個一元二次方程都有一個相同的解，求這個解；
（3）若等腰三角形的一邊長為2.5，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．

Answer 1

分析 （1）先求出△的值，再判斷出其符號即可；
（2）對任意實數(shù)m，這個一元二次方程都有一個相同的解，得到△=0，求出m=$\frac{3}{2}$，得到方程的根；
（3）分兩種情況討論：若腰=2.5，則x=2.5是方程的一個根，可求得等腰三角形的三邊為2.5，2.5，2，那么這個等腰三角形的周長即可求．若底為2.5，則△=0，得到m=$\frac{3}{2}$，可求得等腰三角形的三邊為2，2，2.5．那么這個等腰三角形的周長及面積即可求．

解答 解：（1）∵△=（2m+1）²-4×4（m-$\frac{1}{2}$）=（2m-3）²≥0，
∴方程有兩個的實數(shù)根；
（2）∵對任意實數(shù)m，這個一元二次方程都有一個相同的解，
∴△=0，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴方程為；x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2；
（3）若腰=2.5，則x=2.5是方程的一個根，
∴另一根為x₂=2，
∴等腰三角形的三邊為2.5，2.5，2，
∴等腰三角形的周長=7，
若底為2.5，則△=0，得到m=$\frac{3}{2}$，
∴方程的根為：x=2，
∴等腰三角形的三邊為2，2，2.5．
∴等腰三角形的周長=6.5．

點評 本題考查的是根的判別式，等腰三角形的性質(zhì)，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．