Question

12．在直角坐標系中，正方形ABCD各頂點的坐標分別是A（1，2），B（-1，2），C（-1，0），D（1，0），以坐標原點為位似中心，將正方形ABCD放大，使放大后的正方形A′B′C′D′的邊長是正方形ABCD的邊長的3倍．
（1）寫出點A′，B′，C′，D′的坐標；
（2）直線AC與直線B′D′互相垂直嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可以在原點的同旁，也可以在兩旁畫出放大3倍后的圖形；在原點的同旁時，A點的橫、縱坐標都乘以3，在原點的兩旁時，A點的橫、縱坐標都乘以-3；
（2）分別求出直線AC和直線B′D′的解析式，判斷是否垂直．

解答 解：（1）兩個正方形在原點的同旁時，
A′（3，6），B′（-3，6），C′（-3，0），D′（3，0），
兩個正方形在原點的兩旁時，
A′（-3，-6），B′（3，-6），C′（3，0），D′（-3，0），
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（1，2），C（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+1，
設(shè)直線B′D′的解析式為y=kx+b，
∵B′（-3，6），D′（3，0），
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線B′D′的解析式為y=-x+3，
1×（-1）=-1，
∴直線AC與直線B′D′互相垂直，
同理，當B′（3，-6），D′（-3，0）時，直線AC與直線B′D′互相垂直．

點評 本題主要考查了位似變換和坐標與圖形的性質(zhì)，正確掌握位似比與點的坐標的關(guān)系是解題關(guān)鍵．