Question

3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），點(diǎn)M、N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，若四邊形MNFE為正方形（此處限定點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)），求該正方形的面積；
（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），分別表示出ME=|-m²+2m+3|、MN=2m-2，由四邊形MNFE為正方形知ME=MN，據(jù)此列出方程，分類討論求解可得；
（3）先求出直線BC解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），則點(diǎn)N（2-a，-a²+2a+3）、點(diǎn)D（a，-a+3），由MD=MN列出方程，根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論求解可得．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點(diǎn)C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
∴所求拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
如圖1，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），
∴ME=|-m²+2m+3|，
∵M(jìn)、N關(guān)于x=1對(duì)稱，且點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2-m，
∴MN=2m-2，
∵四邊形MNFE為正方形，
∴ME=MN，
∴|-m²+2m+3|=2m-2，
分兩種情況：
①當(dāng)-m²+2m+3=2m-2時(shí)，解得：m₁=$\sqrt{5}$、m₂=-$\sqrt{5}$（不符合題意，舍去），
當(dāng)m=$\sqrt{5}$時(shí)，正方形的面積為（2$\sqrt{5}$-2）²=24-8$\sqrt{5}$；
②當(dāng)-m²+2m+3=2-2m時(shí)，解得：m₃=2+$\sqrt{5}$，m₄=2-$\sqrt{5}$（不符合題意，舍去），
當(dāng)m=2+$\sqrt{5}$時(shí)，正方形的面積為[2（2+$\sqrt{5}$）-2]²=24+8$\sqrt{5}$；
綜上所述，正方形的面積為24+8$\sqrt{5}$或24-8$\sqrt{5}$．

（3）設(shè)BC所在直線解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入表達(dá)式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），則點(diǎn)N（2-a，-a²+2a+3），點(diǎn)D（a，-a+3），
①點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，即a＞1，
則|-a+3-（-a²+2a+3）|=a-（2-a），即|a²-3a|=2a-2，
若a²-3a≥0，即a≤0或a≥3，a²-3a=2a-2，
解得：a=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$＜1（舍去）；
若a²-3a＜0，即0≤a≤3，a²-3a=2-2a，
解得：a=-1（舍去）或a=2；
②點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，即a＜1，
則|-a+3-（-a²+2a+3）|=2-a-a，即|a²-3a|=2-2a，
若a²-3a≥0，即a≤0或a≥3，a²-3a=2-2a，
解得：a=-1或a=2（舍）；
若a²-3a＜0，即0≤a≤3，a²-3a=2a-2，
解得：a=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$（舍去）或a=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$；
綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$、2、-1、$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及兩點(diǎn)間的距離公式、解方程是解題的關(guān)鍵．