Question

16．在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），且過點（4，-5）．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）若拋物線的頂點為D，連接CD、CB，問拋物線上是否存在點P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點K是拋物線上點C關于對稱軸的對稱點，點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、K、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知點C（0，3），（4，-5）可利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）首先求出點B、D兩點坐標，此時發(fā)現(xiàn)△BDC恰好是直角三角形，且DC⊥BC，那么點D正好符合點P的要求；顯然在直線BC下方還有一個符合條件的點P，可將點B視作頂角頂點、BD為腰作一個等腰三角形（此時可在直線BC下方作出一個與∠DBC相等的角），先確定第三個頂點的坐標，求出此點所在腰的直線解析式后聯(lián)立拋物線即可求出另一點P．
（3）根據(jù)拋物線的對稱性，不難確定點K的坐標．由題意，A、F都在x軸上，所以無論AF是邊還是對角線，點G的縱坐標必為3或-3（與K相同或互為相反數(shù)），先代入拋物線確定出點G的坐標后，再根據(jù)A、K的坐標和平行四邊形的特點確定點F的坐標．

解答 解：（1）∵點C（0，3），（4，-5）是二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a≠0）圖象上的點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{16a-8a+c=-5}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴二次函數(shù)的表達式：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）知：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
則D（1，4）；
BC²=18、CD²=2、BD²=20，
∴BC²+CD²=BD²，即△BCD是直角三角形，且DC⊥BC．
∴∠BDC+∠DBC=90°，即點D符合點P的要求，P₁（1，4）．
延長DC至E，使得DC=CE，則△BDE是等腰三角形，且∠DBC=∠EBC，則直線BE與拋物線的交點也符合點P的要求（B點除外）
通過圖示，不難看出 點D、E關于點C對稱，則 E（-1，2），設直線BE：y=kx+b，則有：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BE：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，聯(lián)立拋物線的解析式后，得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（舍）、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴P₂（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
綜上，存在符合條件的點P，且坐標為（1，4）、（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

（3）易知點K（2，3）；
由題意，A、F都在x軸上，根據(jù)平行四邊形的特點不難看出點G的縱坐標為3或-3；
當y_G=3時，-x²+2x+3=3，解得 x=0或2，
∴G點坐標為（0，3），
此時點F的坐標為（-1-2，0）或（-1+2，0），即（-3，0）、（1，0）；
當y_G=-3時，-x²+2x+3=-3，解得 x=1±$\sqrt{7}$，
∴G點坐標為（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3），
此時點F的坐標為（4+$\sqrt{7}$，0）、（4-$\sqrt{7}$，0）；
綜上，有四個符合條件的點F，且坐標為（-3，0）、（1，0）、（4+$\sqrt{7}$，0）、（4-$\sqrt{7}$，0）．

點評 此題主要考查的知識點有：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、直角三角形與等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；（2）題中，判斷出△BCD的形狀是解題的關鍵；最后一題需要分類進行討論，以免出現(xiàn)漏解的情況．