Question

5．如圖，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)N，y軸上是否存在點(diǎn)P，使△MNP為等腰直角三角形？小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，y軸上存在點(diǎn)P（0，1），此時(shí)有MN=MP，△MNP為等腰直角三角形，請(qǐng)你寫出y軸上其它M在x軸上方點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，0），（0，$\frac{3}{4}$），（0，1）．

Answer 1

分析 分兩類情況討論：當(dāng)MN為直角邊時(shí)和當(dāng)MN為斜邊時(shí)，如圖1，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，于是得到ON=1，MN=1，根據(jù)MN⊥x軸，所以由ON=MN可知（0，0）就是符合條件的一個(gè)P點(diǎn)；如圖2，又當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，根據(jù)MN=MP且PM⊥MN，設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），列方程解得x=-3，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3），由于M在x軸上方，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3）不合題意；如若MN為斜邊時(shí)，根據(jù)ON=OP，列方程得到-x=-$\frac{1}{2}$（2x+3），這方程無解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn)；又如圖2，當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，根據(jù)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，列方程-x=$\frac{1}{2}$（2x+3），解得x=-$\frac{3}{4}$，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{4}$）．

解答 解：如圖1，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，ON=1，MN=1，
∵M(jìn)N⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）就是符合條件的一個(gè)P點(diǎn)；
如圖2，又當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN，
設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），則有-x=-（2x+3），
解得x=-3，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3），
∵M(jìn)在x軸上方，∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3）不合題意；
如若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），
則有-x=-$\frac{1}{2}$（2x+3），
化簡(jiǎn)得-2x=-2x-3，
這方程無解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn)；
又如圖2，當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，這時(shí)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設(shè)點(diǎn)M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=$\frac{1}{2}$M′N′，
∴有-x=$\frac{1}{2}$（2x+3），
解得x=-$\frac{3}{4}$，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{4}$）．
因此，其他符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是（0，0），（0，$\frac{3}{4}$），（0，1）．
故答案為：（0，0），（0，$\frac{3}{4}$），（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)注意考慮問題要全面，做到不重不漏．